Arşimet'ten matematiksel bir kanıt

Arşimet'in matematiksel kanıtlarından biri, bir dairenin alanının p.r2'ye eşit olduğunu göstermesidir.

Archie's proof image

Şekildeki altıgen bir dairenin içine çizilmiştir. Altıgenin alanı, COM üçgenine benzer 12 dik üçgenin alanlarının toplamına eşittir. Bunu

12 . (1/2) . |OC| . |MC|
şeklinde de yazabiliriz. Buradaki 12 . |MC| altıgenin çevresidir. Öyleyse bu altıgenin alanı, dik kenarlarından biri altıgenin çevresine, diğeri |OC| kiriş orta dikmesine eşit olan bir dik üçgenin alanına eşittir.

Aynı şekilde çizilen n kenarlı bir poligonun (çokgenin) alanı için de buna benzer bir ifade yazabiliriz: Poligonun alanı, bir kenarı poligonun çevresine, diğer kenarı da kiriş orta dikmesinin uzunluğuna eşit bir dik üçgenin alanı kadardır.

Arhimedes mirabilisn büyürken, |OC| uzunluğu dairenin yarıçapına, poligonun çevresi de dairenin çevresine yaklaşır. n sonsuza giderken limit durumunda poligonun alanı dairenin alanına eşit olur. Böylece,

12 . |MC| = 2 . p . r ve |OC| = r

olacağından, dairenin alanı,

(1/2) . (2 . p . r) . (r)

olur. Bu da,

p . r2

demektir. Arşimet bu kanıtla cebirin limit alma işleminin de öncüsü olma şerefini hak ediyor.

Arşimet poligonları sadece dairenin içine değil, dışına da çizmişti. 96 kenarlı poligonlara kadar hesaplamalar yaparak 10/70 olduğunu, yani p sayısının 3.1408 ile 3.1429 arasında olduğunu göstermeyi de başarmıştı.

Geri