Lilliputlar için fizik

Bu yazı Serway Physics for Scientists & Engineers s. 19'dan kısmen aynen, kısmen de özetle tercüme edilmiştir. Resimleri aktarmak mümkün olmamıştır.

J Swift'in roman kahramanı seyyah Lemuel Gulliver, insan, hayvan, ağaç ve ot bütün canlıların tamamen bizimkine benzediği Lilliputlar'ın ülkesine uğramıştı. Orada her şey bir parmak (inch) ile bir ayak arasında değişen ölçeklerdeydi; çünkü Lilliputlar ortalama 6 parmak boyunda ve vücut yapıları da ona göre orantılıydı. Gulliver devler ülkesi Brobdingnag'ı da ziyaret etmişti. Bunlar da tamamen bize benziyorlardı -tek farkla, onların boyları bizimkinin 12 katıydı. Swift her iki ülkedeki günlük hayatı (18. yüzyılda) bizimkine benzer bir şekilde tasvir eder. Onun insan davranışlarına dair yorumları hala okunmaya değer, ancak o ölçeklerdeki insanların onun anlattığı gibi olamayacağına inanmak için sebeplerimiz var.

Swift'ten uzun zaman önce Galileo insanın çok küçük ve çok büyük modellerinin insanlar gibi olamayacağını anlatmıştı, ancak Swift'in Galileo'nun yazdıklarını okumadığı belli oluyor. Galileo'nun İki Yeni Bilim kitabındaki bir şahıs, "geometrideki üçgen, silindir, koni ve diğer katı figürlerin özellikleri ölçülerinin değişmesine bağlı değildir," dediğinde fizikçi olan diğer şahıs, "burada umumi kanaat kesinlikle hatalıdır," cevabını verir. Şimdi bunun niçin böyle olduğunu görelim:

Bir halatın dayanıklılığını ele alalım. Bir kişinin asılmasıyla kopabilen bir halata özdeş iki halat, yan yana konduğunda, aynı kuvvetle asılan iki kişi tarafından koparılabilir. Bunu anlamak kolaydır, çünkü bir uzun halat yerine konan aynı kesit alanına sahip iki halatta lif sayısı iki katına çıkar. Yani, bir halatın kopmaya dayanıklılığı kesit alanıyla (yarıçapının karesiyle) orantılıdır. Ayrıca aynı ilişki sadece halatlar için değil, çekme için kullanılan kablolar ve yük taşıyan kolonlar (direkler) için de geçerlidir.

O halde bir halatın, kablonun veya kolonun yarıçapı 2 katına çıkarılırsa, boyca dayanıklılığı 4 katına çıkar.

İnsan vücudunu ayakta tutan kablo ve kolonlar kas ve iskelet sistemidir. Burada taşınan yük mevcut et, kemik, kan, ..., yani, vücut kütlesidir. Vücut kütlesi de kütle = özkütle x hacim ifadesine göre vücut hacmiyle orantılıdır.

Şimdi Gulliver'ı kendisini 12 katı uzunluğundaki Brobdingnag deviyle karşılaştıralım. Dev, Gulliver'a yapı bakımından tamamen benzediğinden, onun her lineer boyutu Gulliver'ınkinin 12 katıdır. İskelet ve kasların dayanıklılığı kesit alanlarıyla, dolayısıyla, yarıçaplarının karesiyle doğru orantılı olduğundan (dayanıklılık a L²) devin kemikleri Gulliver'ınkinin 12², yani 144 katı daha sağlam olacaktır.

Devin ağırlığı hacmi ile ve dolayısıyla L³ ile orantılı olduğundan Gulliver'ınkinin 12³ katı, yani 1728 katı olacaktır. Bu durumda devin dayanıklılığın ağırlığına oranı, bizimkinin 12 de 1'i kadar olacaktır. Yani, dev bizden 12 kat daha güçsüzdür. Bizim sadece kendi ağırlığımızı taşımamıza karşılık dev, ağırlığını taşırken, bizim kendi ağırlığımızdaki 11 kişiyi sırtımızda taşırken karşılaşacağımız güçlükle karşılaşırdı. Tabi, biz bunu yapamayız, çünkü halterde Naim'in rekoru kendi ağırlığının yaklaşık 3 katı kadardır.

Bu nedenle cüsse bakımından bizden büyük olan hayvanların (fil, bizon vs) kemik yarıçapları ile cüsselerinin oranı bizimkiyle aynı değildir. Onların kemikleri boylarına göre daha kalındır, böylece benzer ölçülerdeki kemikleri zayıf kılacak ölçü değişikliği telafi edilmiş olur.

Galileo da Brobdingnag devlerinin (ya da masal devlerinin) gerçek olamayacağını şöyle izah eder: Büyük bir devin bacaklarının orantısının herhangi bir insanınki gibi olması istenirse, ya daha sert ve sağlam bir malzeme kullanılmalıdır ya da normal bir insana göre devin dayanıklılığının azalması gerektiği kabul edilmelidir. Boyu orantısız biçimde artarsa, düşer ve kendi ağırlığı altında ezilir.

Diğer taraftan, vücut ölçüleri küçülürse, vücudun dayanıklılığı aynı ölçüde azalmaz, aksine vücut ne kadar küçülürse nisbi dayanıklılığı o kadar büyür. Bundan dolayı, mesela, küçük bir köpek kendi ölçüsündeki 2 veya 3 köpeği sırtında taşıyabilirken, bir at kendi ağırlığındaki diğer bir atı bile zor taşır.

Bir fil zaten çok büyük olduğundan, onun bacakları acayip bir şekilde kalındır. Fakat en büyük hayvan olan balina filden 40 kat daha ağır olabilir, ancak kemikleri aynı oranda kalın değildir. Yine de yeterince güçlüdürler, çünkü onları su destekler. Karaya vuran bir balinaya ne olur? Basit, kaburgaları kırılır. Eski zamanın bazı dinozorları balinalar kadar büyüktü, peki, onlar hayatlarını nasıl sürdürdüler?

Galileo'nun izinden giderek büyük ölçekli devleri inceledik, şimdi de küçük ölçeklerde ne gibi problemler çıkabileceğine bakalım.

Havuzdan çıktığımızda cildimizin üzerinde ince bir su tabakası bulunur. Bu tabaka vücut yüzeyimizin her tarafında ortalama aynı kalınlıktadır. Vücut yüzeyindeki su miktarı, kabaca, vücut yüzey alanıyla doğru orantılıdır. (Su miktarı a L², yüzey alanı uzunluğun karesi ile doğru orantılıdır.)

Kendi ağırlığımız da vücudumuzun hacmi (L³) ile orantılı olduğundan, havuzdan çıktığımızda taşıdığımız fazla yükün kendi vücut ağırlığımıza oranı L²/L³, yani 1/L ile orantılıdır.

Havuzdan bir bardak su ile çıkmış olsak bile bu, vücut ağırlığımızı en fazla %1 artırır. Fakat bir Lilliput sudan çıktığında ağırlığının %12'si kadar su getirir ki, bu da bir insan için kutup bölgesinde yaşayan insanların elbiselerinin ağırlığıyla eşdeğerdir. Lilliput için havuzdan çıkmak bir zevk değildir! Bir sinek ıslanırsa yükü iki katına çıkar ve bir damla suya hapsolur. Böylece o büyüklükteki bir böceğin çaya veya çorbaya düştüğünde oradan niçin çıkamayıp ümitsizce çırpındığını anlamış oluyoruz.

Bir canlının vücut ölçeğinin daha önemli bir etkisi de vardır. Vücudumuzun başlıca ısı kaybetme yolu cilttir. (Bir kısmı da sıcak havayı dışarı solumakla kaybedilir.) Deneyle de gösterilebilir ki, ısı kaybı vücut yüzey alanıyla orantılıdır. (Yani, ısı kaybı a L².)

Tabi, vücut sıcaklığı ve cildin yapısı gibi diğer faktörler sabit tutulmalıdır. Yediğimiz gıdalar hem bu ısı kaybını telafi etmeli, hem de hareket edebilmemiz için gereken fazla enerjiyi sağlamalıdır. Buna göre en az gıda ihtiyacı L² ile orantılıdır. (Yani, sadece vücut sıcaklığını koruyabilmek için bu kadar gerekir, kolaylık olsun diye, hareket için gereken enerjiyi göz önüne almadık.) Gulliver gibi biri bir veya iki günde bir yediği bir koyun budu ve bir ekmekle hayatını sürdürebiliyorsa, aynı vücut sıcaklığına sahip bir Lilliput aynı gıdanın sadece (1/12)² sine ihtiyaç duyacaktır. Ancak onun ölçeğindeki bir koyun budunu hacmi, dolayısıyla kütlesi (1/12)³ kat daha küçük olacaktır. (Unutmayınız, Lilliput Gulliver'ın 12 katı daha küçüktür ve hacim, dolayısıyla kütle, uzunluğun küpüyle orantılıdır.) İhtiyacı olan gıdanın kendi ölçeğindeki gıdaya oranı

olduğundan, Gulliver'in kendi ölçeğinde bir tanesini yiyerek doyduğu bir but ve bir ekmeğin, kendi ölçeğindeki 12 katını yiyen bir Lilliput ancak doymuş olur. Lilliputlar aç, dur durak bilmeyen, kıpır kıpır, daima öteye beriye koşuşturan, ancak biraz suya battığında kolayca hayati tehlike geçiren mahluklar olmalıdır. Bu özellikleri pek çok küçük memeli hayvanda, mesela farelerde, gözleyebilirsiniz.

Bu arada niçin fareden daha küçük sıcakkanlı hayvan bulunmadığını da anlayabiliriz. Balık ve kurbağalar çok küçük olabilirler, çünkü vücut sıcaklıkları çevrelerininkinden daha fazla değildir. Yüzey ve hacimleri ölçeklendirme kanunlarına göre küçük ve sıcakkanlı hayvanlar nisbi olarak (bize göre) daha fazla gıdaya ihtiyaç duyarlar. Gerçekten küçük olanlar bu kadar gıdayı toplamak bir yana, hazmedemezler bile. Şurası kesindir ki Lilliputlar'ın ziraatı Swift'in tasvir ettiği gibi bir ülkeyi asla besleyemez.

Görüyoruz ki, ne Lilliput ne de Brobdingnag insanın ölçeklendirilmiş bir modeli olamaz. Peki, bu sonuçların fiziğe katkısı nedir?

Yine çok büyükten başlayalım. Sistemin ölçeğini büyüttüğümüzde kendi ağırlığı dayanıklılığından daha büyük olacaktır. Bu sadece hayvanlarda değil, bütün fiziksel sistemlerde geçerlidir. Binalar hayvanlara göre daha büyük olabilirler, çünkü onların yapı malzemeleri öbürlerinkine göre daha dayanıklıdır. Tipleri değişiktir ve hareket etmezler. Bütün bunlar,

dayanıklılık = k . L²

gibi bir bağıntıdaki k orantı katsayısını belirler, fakat hepsi için aynı kanunlar geçerlidir. Eiffel Kulesine benzeyen, fakat mesela 10,000 metre yüksekliğinde bir bina asla inşa edilemez. Dağlar önemli kısımları itibariyle katı yapılardır, içlerinde fazla boşluk bulunmaz. Bir devin kemiklerinin kalın olması gibi yeryüzünde dağ cesametinde bir cismin tamamının dolu olması gerekir. Aksi halde şimdiye kadar bilinmeyen bir malzemeden yapılmıştır.

Bu kanunlar sadece yeryüzündeki yapılar için değil, uzayda başka bir cismin kütle çekimi etkilerinden uzaktaki yapılar için de geçerlidir. Yapıyı oluşturan malzeme miktarı arttıkça, çekim kuvveti de artacak ve bütün yapı içinde boşluk kalmayacak biçimde kendi üzerine çökecektir. Kütlenin fazla olduğu kısımlarda çekim kuvveti de fazla olacağından, yapı bir nokta etrafında simetrik hale gelinceye kadar biçim değiştirecektir. Böyle bir yapı da içi dolu bir küredir.

Muazzam kütleye sahip bir gök cismi ancak hareket ediyorsa, biçimi zamanla değişebilir. Öyleyse, hareket eden büyük cisimleri basit bir şekli olmalı gibi bir yargı da doğru değildir. Galaksi veya nebula resimleri gördüyseniz bunu siz de onaylarsınız.

Aksi yöne, yani küçük kütlelilerin alemine doğru gidersek, kütle çekim etkileri önemini yitirecek, ancak Lilliputlar'da gördüğümüz gibi, yüzey etkilerinin önemi artacaktır. Çok daha küçüğe inersek, yüzeyler artık pürüzsüz ve dümdüz görünmeyecek, pütürler ve pürüzler ortaya çıkacak ve yüzeyi belirlemekte zorluk çekeceğiz. O alemde başka tanımlama biçimleri kullanmamız gerekecektir. Yine de ölçek faktörleri günlük hayatımızda gördüklerimizden çok farklı şekillerde atom bölgesinin hakim unsuru olarak karşımıza çıkacak ve bizi şaşırtacaktır.

Fizik bu tür tartışmalarla doludur. Ölçek değiştirildiğinde, fiziksel dünyanın bir tarafı vurgulanırken diğer tarafı önemsiz hale gelir. Normal (yani, kendi) ölçülerimizde önemsiz olan bir çok özellik, çok küçükte ve çok büyükte önem kazanır. Bizim bütün ölçü ve tartı sistemlerimiz kendi normal ölçeğimizden, yani kendimizi nasıl gördüğümüzden etkilendiği için, büyük ölçekli yapılar, mesela büyük binalar veya transatlantikler inşa ederken, ölçek değişikliği faktörlerini hesaba katmazsak, beklenmedik sonuçlarla karşılaşabiliriz. Bir arıyı model alarak ve onun geometrik oranlarını koruyarak devasa, muhteşem ve mükemmel bir uçak inşa edebiliriz. Sonuçta da sadece küçücük bir problem çıkar: Uçak uçmaz.