Kolaylar
sonsuz + 1 = sonsuz
sonsuz + sonsuz = sonsuz
sonsuz * sonsuz = sonsuz
0 + 0 = 0
0 - 0 = 0
0 denktir 0 : doğru
0 denk değildir 0 : yanlış
1 = 1 : doğru
1 / 1 = 1
Bu sonuncuyu biraz deşeyim (ötekilerle ve sayılarla ilgili genel geyik sonra gelecek, şimdilik ona kafayı takmayalım):
Matematikte tek temel işlem vardır: Sayma. Toplama ileri doğru sayma, çıkarma toplamanın tersi ya da geriye doğru sayma, çarpma toplamanın hızlandırılmışı, bölme de çıkarmanın hızlandırılmışı.
Uygulama için bir başlangıç noktası seçerek ona 0 diyelim ve bir uzunluğu kafamıza göre eşit aralıklarla bölerek işaretleyelim. Sıfırın hemen yanındakine 1, sonrakine 2, ... diyerek işaretlediğimiz noktaları isimlendirelim.
Buna göre 5 - 4 demek, 5 işaretli noktadan geriye (yani "sıfıra") doğru dört aralık git, demektir. Nereye geldik? 1 işaretli noktaya. Öyleyse 5 - 4 = 1.
Okay, şimdi de 20'den başlayarak ve her defasında dört aralık atlayarak sıfıra doğru gidelim. Bunu kaç kez yapabiliriz? 5 kez:
20 ® 16 ® 12 ® 8 ® 4 ® 0.
Bunu kısaca göstermenin bir yolu var mı? Evet: 20 / 4 = 5.
Peki, 1 / 1 ne demek? 1 işaretli noktada dur, sıfıra doğru 1 bölme git. Bunu kaç kez yapabilirsin? 1 kez. O halde 1 / 1 = 1.
İyi de, 1/2 ne demek? 1 işaretli yerde dur. İkişer bölme atlayarak sıfıra ulaşmaya çalış. Bunu kaç kez yapabilirsin? 1 kez bile yapamazsın. 2 bölmenin ancak yarısını gidebilirsin, yani 1/2.
(Lütfen, "Aha! Seni şapa oturtacak bir şey buldum!" diye bir çığlık atıp "
ne demek?" filan gibi şeyler sormayın. Hepsinin temel mantığı yukarıdaki gibidir, ama o işleme kadar bir sürü yol vardır.)
Orta halliler
sonsuz + 1 / 0 (bu zaten sonsuz / 0 demek),
sonsuz / sonsuz
0 / sonsuz
0 / 0
sonsuz - sonsuz
şeklinde yazıldığında işlemler matematiksel değil kavramsaldır. Bu nedenle bu halleriyle tanımsızdır ve zaten matematikte bu haliyle karşımıza çıkmaz ve kullanılmazlar. Ancak kimi fonksiyonlar bazı değerlerde bu sonuçları alıyorsa o zaman matematiksel olarak anlamlıdırlar ve limit işlemleri uygulanır.
Felsefi geyik içerenler (matematikle pek ilgisi yok)
"1'i tanımlayabilir misiniz?"
Elbette.
Matematiğin kaynağı dış dünyadır, ama insan aklı dış dünyadan aldığı kavramları organize etmiş, geliştirmiş ve dış dünyada karşılığı olmayan yerlere kadar götürmüştür. Bu insan aklının soyutlama yeteneğidir. İmdi:
Nesneler tat, koku, renk, uzunluk vs gibi niteliklerin yanında bir de sayılarıyla tanımlanır.
Bin atlı akınlarda çocuklar gibi şendik
Bin atlı o gün dev gibi bir orduyu yendik.
Benim kol saatim yok. Avni'nin kol saati sayısı = 0
Kızımın bisikleti var. Avni'nin kızının bisiklet sayısı = 1 vs.
Demek ki 1, 2, 3 ... başlangıçta ve halen nesnelerin bir özelliğini belirtmek için taktığımız isimler ve o isimlerin sembollerdir. Biz o isimleri takmasaydık da bir tane İstanbul Boğazı olacaktı, ama belki başka bir ad ya da sembolle bunu birbirimize aktaracaktık. Yani 1, "orada kaç tane Güneş var?", "Kaç tane Ay var?", "Kaç tane Dünya var?" gibi soruların cevabıdır.
İnsan soyutlama yeteneği sayesinde zamanla bu sayıları herhangi bir nesnel karşılık düşünmeden de kullanmaya başlamış. İşte matematiğin bugün ulaştığı yer insanın bu soyutlama yeteneğinin eseridir. Nesnel karşılığı olmayan kavramlar donuktur, bu değişimler dünyasına değil zihnimize aittir. Bu nedenle de insan zihninde onların hiç bir özellikleri yoktur. İnsana kafayı yedirten de budur: Zihinsel olanla nesnel olanı iltibas etmek. Zihinsel olan "artificial"dır, donuktur, saydamdır, kişiliksizdir, renksizdir vs.
Örneğin hiç bir nesnel karşılık düşünmüyorsak kesinlikle "1 = 1", nesnel bir karşılığı varsa "1 her zaman eşit olmayabilir 1" ("1 kg bir şey ¹ 1 m aynı şey" gibi).
Günlük yaşamımızın hemen hemen her kelimesi soyutlama prosesinden nasibini almıştır: "Ayakkabımın tabanı delindi." Bu cümleyi duyduğunuzda ne ayakkabımı hayal edersiniz, ne tabanını ne de deliğin biçimini ve delinme nedenini; bunların hepsi de nesnel karşılığa sahip kelimeler olduğu halde. Bu kelimelere herhangi bir nesnel anlam yüklemeden, demek istediğimi anlarsınız, çünkü bu güne kadar yüzlerce ayakkabı vd gördük ve onların hepsinin ortak yanlarını soyutlayarak ona ayakkabı vd dedik.
Sonsuz da sembolik prosesin meyvelerinden biridir. İnsanın soyutlama yeteneği ona sadece nesnel bir karşılığı olmayan sonsuzu keşfettirmekle kalmamış, onu onun ötesine de geçirmiştir: Sonsuz ötesi cebri. (Bu bağlamda Georg Cantor'u anmadan geçmek olmaz. O muhteşem bir soyutlama yeteneğine sahipti ve sonsuzları evcilleştirmişti.)"
Cantor bu zihinsel yaratığın birden fazla türünün var olduğunu ve aynı türdeki sonsuzların genişlik (resmi adı: kardinalite) bakımından her zaman aynı olmadığını gösterdi. İşte sonsuz - sonsuz ifadesine bir kalemde bir değer veremememizin nedeni budur: İki kez geçen sonsuz acaba nasıl sonsuz? Ancak bu ifade fonksiyonlarda karşımıza çıkarsa fonksiyonların davranışına göre sonsuzlar arasında bir ayırım yapmak ve sonucu hesaplamak mümkün olur. Sonsuz + 1'e hemen değer verebilmemizin nedeni de budur: Herhangi bir sonsuza sonlu bir şey eklemek onun kardinalitesini değiştirmez.
sonsuz + sonsuz = sonsuz veya sonsuz * sonsuz = sonsuz, (2*sonsuz ya da sonsuz kare desek ne çıkar?) Tabi, kardinaliteleri aynı ya da farklı olabilir, ama kimin umurunda?! Nasıl olsa bu haliyle bir işe yaramazlar. (Bu konuda işin ehlinden bir şey okumak isteyenlere Ali Nesin'in Matematik ve Korku'sundan [Düşün, 3. baskı, 1994] 193-198. sayfaları hararetle öneririm. Okuyun ama!)
Gelelim madalyonun diğer yüzüne.
"Melek" tepeden inme bir kavramdır. Herhangi bir nesnel karşılıktan yola çıkılarak ve soyutlama yeteneği kullanılarak geliştirilmiş değildir. Aksini savunan varsa savunmasını bekliyorum.
Arkadaşımız bu yazdıklarımdan benim olanla olmayanı ayırmamı talep etmişti, ne gereği varsa. Yazık ki bunu yapamam. Benim yüzlerce kaynağım vardır ve bu yazıyı herhangi bir yere bakmadan yazdım. Ne kadarı benim, ne kadarı nerelerden, hiç bir fikrim yok. Bu ayıp değildir her halde, nitekim bu yazıdaki her kelimeyi tek tek ne zaman ve nereden öğrendiğimi de hatırlamıyorum; ancak yazdıklarımı, yanlış olduklarını görünceye kadar, savunurum.